黎曼——通过几何研究，预见了现实世界的最本质特征

像黎曼这样的几何学家几乎已经预见到了现实世界的最本质的特征。—爱丁顿

格奥尔格·弗里德里希·伯恩哈德·里曼于1826年9月17日出生在德国汉诺威的一个名叫布莱特·斯伦茨的小村庄黎曼大约6岁时开始学习算术，他天生的数学天赋立刻展现出来10岁时，他跟随一位名叫舒尔茨的专职老师学习高等算术和几何舒尔茨很快发现他不得不跟随这个学生，这个学生常常有比他更好的解决问题的方法

黎曼中学的校长施马尔福斯注意到了黎曼的数学能力，允许他随意进出图书馆，还允许他翘数学课在施马尔福斯的推荐下，黎曼借用了勒让德的数论这无疑是黎曼对素数之谜产生兴趣的开始Jean de有一个经验公式，用于估计小于任何给定数的素数的大概个数黎曼最深刻，最具启发性的论文之一就属于这个领域事实上，由他试图改进勒让德公式而产生的黎曼猜想已成为当今最困难的数学问题之一

关于小于给定量的素数的个数，德文版

黎曼猜想出现在著名论文《论小于给定量的素数的个数》中本文讨论的问题是提供一个公式来表明有多少个素数小于已知数n，在试图解决这个问题时，黎曼不得不研究无穷级数

其中s是一个复数，使级数收敛。在这种限制下，这个无穷级数是s的一个确定函数，记为

这就是著名的黎曼泽塔函数。

伴随着s的变化，ζ连续取不同的值s的值是多少，ζ为零黎曼猜想，对于所有实部为1/2的，即

这就是著名的黎曼猜想无论谁证明它是真的还是假的，都会给自己带来巨大的荣誉，会解决素数论，高等算术的其他部分和一些分析领域的许多极其困难的问题1914年，英国数学家ghhardy证明s的无穷值满足这个猜想，但无穷不一定是全部黎曼猜想不是那种能用初等方法解决的问题比费马大定理还难

黎曼在中学就以惊人的速度自学了大数学家勒让德的著作他还通过研究欧拉的著作熟悉了微积分及其分支相当令人惊讶的是，黎曼从这样一个古老的分析起点起步，后来成为一个成功的分析者

1946年，19岁的黎曼成为哥廷根大学的一名哲学系学生但他放不下斯特恩关于方程理论和定积分的讲座，高斯关于最小二乘法的讲座，戈尔德斯·米特关于地磁的讲座黎曼向父亲承认了这一切，并请求允许他改学数学父亲由衷地同意了

在哥廷根大学学习一年后，黎曼转学到柏林大学，先后在雅可比，狄利克雷，施泰纳，爱森斯坦学习他从这些大师那里学到了很多东西——从雅各比那里学到了高等力学和高等代数，从狄利克雷那里学到了数论和分析，从施泰纳那里学到了现代几何从比他大三岁的爱森斯坦那里，他不仅学到了椭圆函数，还学到了自信，因为他和这位少爷对理论应该如何发展有着根本不同的看法爱森斯坦坚持一个奇妙的公式，有点现代的欧拉风格，黎曼想引入复变量，用最少的计算从几个简单的一般原理推导出整个理论黎曼开创的单复变函数论在现代科学史上有着重要的地位

1849年，黎曼回到哥廷根大学完成了他的数学学业，并获得了博士学位人们通常认为他是一个纯粹的数学家事实上，他的兴趣非常广泛事实上，他花在物理科学上的时间和花在数学上的时间一样多如果他能多活二三十年，很可能成为19世纪的牛顿或爱因斯坦他的物理学思想在当时是极其大胆的直到爱因斯坦完成了他的广义相对论，物理学家才意识到黎曼预言的物理学是合理的

在哥廷根大学的最后三个学期，黎曼参加了哲学讲座和威廉·韦伯的实验物理学课程黎曼死后留下的未完成的哲学和心理学手稿表明，作为一个哲学思想家，黎曼和他在数学上一样具有独创性同时，作为一名物理数学家，黎曼在对数学中很可能有科学应用价值的事物的直觉上，与牛顿，高斯，爱因斯坦处于同一水平

黎曼在1850年得出结论，

就有可能建立一个完整的，不言自明的数学理论，从单点的一些基本定律来推断在充满物质的真实空间中所看到的过程，无论重力，电，磁还是静态热力学。

这或许可以用黎曼抛弃了物理科学中所有对场论有益的超距作用理论来解释例如，在场论中，一个带电粒子周围空间的各种物理性质是数学研究的对象黎曼被他在物理学方面的工作迷住了，暂时把他的纯数学放在一边1850年，他参加了韦伯，乌尔里希，斯特恩和李斯特刚刚开设的一个数学物理研究班

1857年，黎曼将拓扑方法引入简单复变函数论高斯曾预言拓扑社会将成为数学最重要的领域，黎曼通过他在函数论中的发明部分实现了这一预言

黎曼利用他的曲面及其拓扑性质取得了惊人的进展，尤其是在阿贝尔函数中这方面的一个问题是如何做截线，使N叶曲面等价于一个平面这种高度的空间直觉是极其可贵的

1851年11月初，黎曼将自己的博士论文《简单复变函数通论的基础》提交给高斯审阅黎曼读完高斯的论文后去拜访了他高斯告诉他，他多年来一直计划就同一主题写一部专著

从1853年起，他专注于数学物理因为对物理科学越来越有热情，他的就职论文拖了很久，直到今年年底才完成在担任讲师之前，他必须发表就职演说高斯指定几何基础作为黎曼演讲的主题这是高斯研究了60年的问题他希望看到这样一个年轻人如何处理这个难题黎曼煞费苦心地准备了这篇演讲，受到了极大的欢迎黎曼的《论作为几何基础的假设》不仅是数学上的一部巨著，也是一部值得推荐的巨著

黎曼关于阿贝尔函数的独特著作，关于超几何级数的经典著作以及为此级数提出的微分方程在数学物理中是极其重要的在这两部作品中，黎曼在自己的新方向上独树一帜他的方法的概括性和直观性是他自己独有的

黎曼对阿贝尔函数理论的发展不同于维尔斯特拉斯，就像月光不同于阳光一样Weierstrass的研究有条不紊，在所有细节上都很准确至于黎曼，他看到了整体，却忽略了细节维尔斯特拉斯的方法是算术，黎曼的方法是几何和直观说一个比另一个更好是没有意义的，两种方法都不能从共同的角度来理解

过度劳累和缺乏合理的休息让黎曼在刚刚31岁的时候变得紧张，黎曼被迫在哈兹的一个山村里度过了几个星期一天晚上，黎曼读了布鲁斯特的《牛顿传》，发现了一封牛顿写给本特利的信在这封信中，牛顿本人断言，没有媒介的超距作用是不可能的这让黎曼非常高兴，并激励他做了一次即兴演讲今天，黎曼所赞美的介质不是发光的以太，而是他自己的弯曲空间或者说是它在相对论时空中的反射

1858年，黎曼写了一篇关于电动力学的文章。他就这篇文章给他姐姐写信，

我已经向哥廷根皇家学会提交了我关于电和光之间密切关系的发现我听说高斯曾经构想过关于这种亲密关系的另一种理论，与我的理论不同，并告诉了他的密友但是，我完全相信我的理论是正确的，几年后会得到认可众所周知，高斯很快撤回了他的论文，没有发表，可能他自己也不满意吧

看来黎曼在这个问题上过于乐观了，麦克斯韦电磁场理论是当今该领域的主导理论而光和电磁场理论的现状又过于复杂，这里就不一一介绍了注意到黎曼的理论没有流传下来就够了

狄利克雷于1859年5月5日去世，因此黎曼在33岁时成为高斯的第二继承人在访问柏林期间，博尔夏特，库默，克罗内克和维尔斯特拉斯设宴款待了他包括伦敦皇家学会和法国科学院在内的各种学会授予他会员的荣誉简而言之，他获得了一个科学家通常能获得的最高荣誉他在1860年访问巴黎时，结识了法国一流的数学家，尤其是埃尔米特，对黎曼的赞誉不绝于耳1860年这一年，是数学物理学史上值得纪念的一年，因为在这一年，黎曼开始专心写他的论文《关于热传导的一个问题》，在这篇论文中，他发展了二次微分形式的所有方法，这是今天相对论的基础

李满的物质生活伴随着他被聘为正教授而大大改善，36岁就能结婚了他的妻子埃莉·泽克是他姐姐的朋友刚结婚一个月，1862年，黎曼就患上了胸膜炎，还没完全康复，就患上了肺病在哥廷根，他经常表示想和戴德金谈谈他未完成的工作，但他始终觉得自己不够强大，经不起一次拜访他最后的日子是在马焦雷湖附近的塞拉斯卡的一座别墅里度过的黎曼于1866年7月20日去世，享年39岁

作为一名数学家，黎曼的伟大之处在于，他对于纯数学和应用数学的方法和新思想具有极强的普适性，适用于无限的范围。

几何基础

他认为一个巨大问题的整体是一个连贯的整体这里只能介绍他的一部巨著，即1854年的《几何基础论》黎曼指出，三维空间因线和面的不同而有不同的种类，我们只能通过经验来发现我们生活在这些三维空间中的哪一个特别地，平面几何的公理在平面上测试的一张纸的范围内是有效的但是，我们知道，这张纸上其实布满了许多小皱纹，在这些小皱纹上，这些公理是不成立的他说，同样，虽然立体几何的公理在实验的限度内对我们空间的有限部分是成立的，但我们没有理由认为它们对极小部分也是成立的，因此，如果它能帮助解释物理现象，我们可能有理由得出结论，它们对一小部分空间是不成立的

黎曼说，我想在这里指出一种方法，使这些思想可以应用于物理现象的研究。我认为实际上:

其实空间的一小部分具有某种性质，类似于平均平面上有曲面的小山，几何学的一般定律在那里并不适用。

这种弯曲或扭曲的性质以波的形式不断地从空间的一部分过渡到另一部分。

这种空间曲率的变化确实发生在那些我们称之为物质运动的现象中。

在物理世界中，根据连续性定律，除了这种变化之外，不会发生其他任何事情。

我试图用一种概括的方式来解释这个假设的双拐点定律，但我还没有得到任何可以发表的明确结果。

黎曼还认为他的新几何将被证明具有科学意义。正如他的论文结尾所指出的:

因此，要么构成空间基础的实在必须形成离散的流形，要么我们必须在作用于它的约束力中找到它之外的度量关系的基础。

这些问题的答案只能从概念已经被经验确定的现象中，或者从在这个概念中无法解释的事实所要求的连续变化中获得。

这就把我们引向另一门科学，即物理科学领域，这一工作的对象今天还不允许我们进入。

1854年黎曼的工作给了几何学一个全新的概念他想象的几何是非欧几何，但既不是罗巴切夫斯基和约翰·鲍耶意义上的非欧几何，也不是黎曼自己的钝角假设意义上的非欧几何，而是依赖于度量概念的更广泛意义上的非欧几何孤立地把度量关系作为黎曼理论的中心是一种误解，这一理论包含的东西远远多于一些可操作的测量原理，这是它的主要特点之一黎曼简明论文的任何解释都不能解释论文中的全部内涵，可是，我们将试图解释他的一些基本观点我们会选择三点:流形的概念，距离的定义，流形曲率的概念

流形是一个类对象，所谓对象是指这个类中的任何一个成员，完全可以通过给它赋予一定的编号，按照一定的顺序来体现这些成员元素的可数性，给定序列的设计反映了这种可数性质的原始特征即使这种说法可能比黎曼的定义更难理解，但它仍然是一个有效的起点在一般数学中，相当于:流形是一组有序的n元数组两个这样的n元数组and 相等当且仅当它们对应的数分别相等

如果一个流形中的每一个这样的有序N元数组恰好有N个数，那么这个流形就是N维的所以我们又回到了笛卡尔坐标如果a中的每个数都是正整数，零或负整数，或者它是任何可数集合的一个元素，并且对于集合中的每个n元数组都成立，则称该流形是离散的如果数x_i，x_2，…，x_n可以连续取值，那么这个流形就是连续的

这个定义忽略了一个问题，即一组有序的N元数组或者由这些N元数组表示的东西是否是流形这样，当我们说它是平面上一点的坐标时，我们不是问平面上的一点是什么，而是着手使用这些有序数对，其中x和y独立地取所有实数另一方面，有时关注像这样的符号意味着什么对我们是有益的这样，如果x是一个人以秒为单位的年龄，y是他以厘米为单位的身高，我们感兴趣的可能是这个人而不是他的坐标，而我们探索的数学只关心坐标按照同样的思路，几何学不再涉及空间是什么对于一个现代数学家来说，空间只是上面描述的数的流形，而这个空间的概念来自黎曼的流形

黎曼在谈到测量时说，测量由需要比较的量的叠加组成没有这个，一个量只有当它是另一个量的一部分时才能比较，只能决定量，不能决定量对了，在理论物理中，尤其是在量子力学和相对论都有重大意义的所有问题中，迫切需要一些一致的，有用的测量理论

黎曼再一次从哲学的一般原理下降到不那么神秘的数学，着手制定距离的定义，这个定义是从他的测量概念中提取出来的，并且在物理和数学上都被证明是卓有成效的。

毕达哥拉斯的距离公式是

如何推广到曲面平面上的直线等价于曲面上的测地线，但是在球面上，例如，对于由测地线形成的直角三角形，勾股公式不成立

是流形上彼此无限接近的两点的坐标为简单起见，我们来解释一下n=4时的含义

的平方根对于所有G的特殊选择，确定一个空间

其他的G都是零相对论中考虑的空间有这种一般类型，其中除了g_11，g_22，g_33，g_44以外的所有G都为零

在N维空间的情况下，相邻点之间的距离以类似的方式定义，一般表达式包含1/2n项如果已知相邻两点间距离的广义毕达哥拉斯公式，求空间任意两点间的距离就是积分学中的可解问题其度量由上述公式确定的空间称为黎曼空间

黎曼所表达的曲率是另一种来自普通经验的概括直线的曲率为零，曲线偏离直线的度量在曲线上的每一点可能相同，也可能不同，因此必须应用极限方法来表示曲率同样，对于曲面来说，其曲率可以用偏离平面的程度来衡量，平面的曲率为零这可以概括为并更精确地描述如下为了简单起见，我们先解释一下二维空间的情况，也就是我们通常想象的曲面一样的情况

可以知道，给定的函数g_11，g_12和g_22可以用来计算曲面上任意一点的曲率用普通语言谈论二维以上空间的曲率是没有意义的，但黎曼推广了高斯曲率，用同样的数学方式建立了N维空间一般情况下包含所有G的表达式它在数学上与高斯的曲面曲率表达式属于同一类型，这个广义表达式就是他所说的空间曲率的度量展示一个二维以上的弯曲空间的视觉表象是可能的，但这种对直觉的帮助大概就像给一个没有脚的人一副断了的拐杖一样没用，因为对理解没有帮助，它们在数学上也是没用的

黎曼把无数为特殊目的而创造的空间和几何放在专业几何学家的能力范围内它将大量重要的几何定理捆绑成一个紧密的束，可以很容易地作为一个整体对待黎曼的成就教会了数学家不要相信任何几何或任何空间是人类直觉的必要模型

最后，黎曼定义的曲率，他设计的研究二次微分形式的方法，他对曲率是不变量这一事实的理解，都在相对论中找到了物理解释相对论是否达到最终形式并不重要，自从相对论问世以来，我们对物理科学的看法已经不同于过去没有黎曼的工作，这场科学思想的革命是不可能的，除非后来有人能创造出黎曼创造的概念和数学方法